二分

整数二分

基本思想

有单调性的题目一定可以二分，但是可以二分的题目不一定需要单调性。（二者没有必然联系）

单调性

单调性

二分本质

二分本质

在区间里面只要能找到一个性质，把整个区间一分为二，一般满足条件，一半不满足条件，二分就可以寻找这个条件的边界。既可以寻找左边界，也可以寻找有边界。

二分出左边界点 二分左边界点

二分出右边界点 二分右边界点

算法模板

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bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_l(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_r(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

示例运用

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000 1≤q≤10000 1≤k≤10000

输入样例：

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输出样例：

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-1 -1

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#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &q[i]);

    while (m -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);

        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }

        if (q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else
        {
            cout << l << ' ';

            int l = 0, r = n - 1;
            while (l < r)
            {
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if (q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }

            cout << l << endl;
        }
    }

    return 0;
}

浮点数二分

浮点数二分没有整除，所以不需要处理边界。

基本思想

二分右边界点

算法模板

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bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

实例运用

求一个正数的平方根。

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#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    
    double l =  0 , r = x;
    // for(int i = 0; i < 100 ; i++)
    while (r - l > 1e-6) 
    {
        double mid= (l + r) / 2;
        if (mid * mid > x)  r = mid;
        else l = mid;
    }
    
    printf("%lf\n",l);
    
    return 0;
}